MetaTrader Expert Advisor Dekalog Blog to ciekawa strona, w której autor Dekalog stara się opracować nowe i unikalne sposoby zastosowania analizy ilościowej do handlu. W ostatnim poście omówił wykorzystanie pojęcia Brownian Motion w sposób, który tworzyłby pasma wokół cen zamknięcia. Pasma te reprezentowałyby okresy nie mające tendencji wzrostowej, a inwestor mógłby zidentyfikować każdą chwilę, gdy cena znajdowała się poza pasmem jako okres trendu. Dekalog 8217 metoda używania Brownian Motion tworzy górne i dolne pasma, które definiują trendy. U podstaw większości trendów następujących po systemie transakcyjnym jest sposób określania istnienia trendów i określania ich kierunku. Wykorzystanie Dekalog 8217 Idea Browna Motion jako źródła systemu może być wyjątkowym sposobem identyfikowania trendów i wyciągania zysków z rynków za pośrednictwem tych trendów. Oto jak Dekalog wyjaśnia swoją koncepcję: Podstawową przesłanką, zaczerpniętą z ruchu Browna, jest to, że naturalny dziennik zmian cen, średnio, jest proporcjonalny do pierwiastka kwadratowego czasu. Weźmy na przykład okres 5 poprzedzający pasek 8220. 8221 Jeśli przyjmiemy 5-krotną prostą średnią ruchomą bezwzględnych różnic w dzienniku cen w tym okresie, otrzymamy wartość dla średniego przesunięcia cen o 1 bara w tym okresie. Wartość ta jest następnie mnożona przez pierwiastek kwadratowy z 5 i dodawana do i odejmowana od ceny 5 dni temu, aby uzyskać górną i dolną granicę dla bieżącego paska. Następnie stosuje te górne i dolne granice do wykresu: Jeśli aktualny słupek znajduje się pomiędzy granicami, mówimy, że ruch cenowy w ciągu ostatnich 5 okresów jest zgodny z ruchem Browna i deklaruje brak tendencji, tj. Rynek boczny. Jeśli aktualny pasek znajduje się poza zakresem, deklarujemy, że ruch cenowy na ostatnich 5 taktach nie jest zgodny z ruchem Browna i że obowiązuje trend, albo w górę albo w dół, w zależności od tego, która granica jest poza bieżącym słupkiem. Dekalog jest również przekonany, że ta koncepcja może mieć wartość wykraczającą poza zwykły wskaźnik: Łatwo jest sobie wyobrazić wiele zastosowań w tym zakresie, jeśli chodzi o tworzenie wskaźników, ale zamierzam wykorzystać te granice, aby przypisać wynik losowej losowości ceny w różnych połączonych okresach w celu przypisania ceny przejście do pojemników do późniejszego tworzenia syntetycznych serii cenowych w Monte Carlo. Brownian Motion i rynek FOREX przez Armando Rodrigueza Nie byłoby po pierwsze, że formuła opracowana dla zjawisk w polu jest z powodzeniem stosowana w innym, ma nawet nazwę, a nazywa się analogią. Istnieje wiele przykładów analogii, których formuła do rozwiązywania statycznych struktur mechanicznych jest taka sama, jak ta stosowana do rozwiązywania problemów z sieciami elektroenergetycznymi rozproszonymi jako atrament w wodzie stojącej i tak wiele innych. Tutaj ustalamy analogię zmian cen rynkowych FOREX do ruchu Browna. Również analogie są wykonywane nie tylko dla korzystania z symetrii natury, ale zwykle po pewnym praktycznym celu. W tym przypadku chcemy wiedzieć, kiedy algorytm handlowy nie przyniesie zysków, więc transakcja powinna zostać wstrzymana. Ruch Browna ruch Browna (nazwany na cześć botanika Roberta Browna) pierwotnie odnosił się do losowego ruchu obserwowanego pod mikroskopem pyłku zanurzonego w wodzie. Było to zastanawiające, ponieważ cząsteczka pyłku zawieszona w idealnie nieruchomej wodzie nie miała żadnego wyraźnego powodu, aby przenieść wszystko. Einstein zwrócił uwagę, że ten ruch spowodowany był przypadkowym bombardowaniem cząsteczek wody wzbudzonych przez ciepło na pyłku. Było to tylko wynikiem molekularnej natury materii. Współczesna teoria nazywa to procesem stochastycznym i udowodniono, że można go zredukować do ruchu przypadkowego piechura. Jednowymiarowy przypadkowy chodzik to taki, który równie prawdopodobny może wykonać krok do przodu jako wstecz, na przykład oś X, w dowolnym momencie. Dowolny losowy spacerowicz robi to samo w X lub Y (patrz ilustracja). Ceny akcji zmieniają się nieznacznie przy każdej transakcji, zakup zwiększy jej wartość, a sprzedaż ją obniży. Z zastrzeżeniem tysięcy transakcji kupna i sprzedaży, ceny akcji powinny pokazywać jednowymiarowy ruch Browna. Było to tematem rozprawy doktorskiej Louisa Bacheliera z 1900 r., Pod tytułem Teoria spekulacji. Przedstawiono analizę stochastyczną rynków akcji i opcji. Wskaźniki kursowe C również powinny zachowywać się bardzo podobnie jak cząsteczki pyłku w wodzie. Browna Spectrum Interesującą właściwością ruchu Browna jest jego spektrum. Każda okresowa funkcja w czasie może być uważana za sumę nieskończonej serii sinekozowych funkcji o częstotliwościach wielokrotnych do odwrotności okresu. Nazywa się to serią Fouriera. Pojęcie to może być dalej rozszerzone na funkcje nieperiodyczne, pozwalające okresowi przejść do nieskończoności, a to byłaby całka Fouriera. Zamiast sekwencji amplitud dla każdej wieloczęstotliwościowej mamy do czynienia z funkcją częstotliwości, ta funkcja nazywa się widmem. Reprezentacja sygnału w przestrzeni częstotliwości jest powszechnym językiem w transmisji informacji, modulacji i szumu. Korektory graficzne, uwzględnione nawet w domowych urządzeniach audio lub programach audio PC, wprowadziły koncepcję od społeczności naukowej do gospodarstwa domowego. Obecność w każdym przydatnym sygnale to hałas. Są to niechciane sygnały, losowe, z różnych fizycznych źródeł. Widmo hałasu związane jest z jego pochodzeniem: hałas JhnsonNyquist (szum termiczny, hałas Johnsona lub szum Nyquista) to hałas elektryczny generowany przez termiczne poruszanie się nośników ładunku (zwykle elektronów) wewnątrz przewodu elektrycznego w równowadze, co dzieje się niezależnie od przyłożonego napięcia. Hałas cieplny jest w przybliżeniu biały. oznacza to, że gęstość widmowa mocy jest równa w całym spektrum częstotliwości. Hałas migotania to rodzaj szumu elektronicznego o widmie 1f lub różowym. Dlatego często określa się go jako "szum 1f" lub "różowy szum". chociaż terminy te mają szersze definicje. Występuje prawie we wszystkich urządzeniach elektronicznych. i wynika z różnych efektów, takich jak zanieczyszczenia w przewodzącym kanale, hałas generowania i rekombinacji w tranzystorze z powodu prądu podstawowego i tak dalej. Wreszcie hałas Browna lub czerwony szum to rodzaj szumu generowanego przez ruchy Browna. Jego gęstość widmowa jest proporcjonalna do 1f2, co oznacza, że ma więcej energii przy niższych częstotliwościach, nawet bardziej niż szum różowy. Znaczenie tej dyskusji jest takie, że przy obliczaniu spektrum sygnału stopy FOREX występuje zależność 1f 2, co oznacza, że ma ona również charakter Browna. Zachowanie w czasie Zachowanie rynku FOREX w przypadku braku zdarzeń również zachowuje się idealnie Brownian. Oznacza to, że stawki FOREX zachowują się jak przypadkowe losowe spacery. Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia przypadkowego piechura w pozycji x po czasie t następuje zgodnie z prawem gaussowskim. Tam, gdzie s jest odchyleniem standardowym, dla losowego piechura jest funkcją pierwiastka kwadratowego t, a to jest to, co wskaźniki FOREX odnoszą się do doskonałości eksperymentalnej, jak pokazano poniżej dla kwotowań EURUSD na rysunku 1. Wyrażenie analityczne dla powyższej liczby z Stawki w pipsach i t w minutach od czasu początkowego t 0: Średnio 45 minut EURUSD w minutę, więc powyższe wyrażenie można umieścić w terminach N th cytat po czasie początkowym. Ruchy dryfowe i losowe Można powiedzieć, że ruch cząstek pyłków ma dwa składniki, jeden losowy charakter opisany powyżej, ale jeśli ciecz ma przepływ w pewnym kierunku, to ruch dryftu jest nałożony na Browna. Rynek FOREX przedstawia oba rodzaje ruchu, składnik losowy o wyższej częstotliwości i wolniejsze ruchy dryfu spowodowane wiadomościami wpływającymi na stawki. Losowe ruchy są złe dla biznesu spekulacyjnego, nie ma sposobu, aby wycenić zysk na idealnie losowym rynku. Tylko ruch dryfujący może generować zyski. Los rynkowy nie jest stały w czasie, podobnie jak ruch dryfujący. Podczas wydarzeń z wiadomościami ruchy dryfujące są duże i to podczas wydarzeń można uzyskać zyski, ale są bardziej przejrzyste zdarzenia, w których automatyczne algorytmy działają najlepiej, a są brudne, z dużą ilością losowości, które mogą wprowadzić najmądrzejszy algorytm w przegrywający. W systemie fizycznym intensywność ruchów Browna cząstki może być traktowana jako średni kwadrat jej losowej prędkości, co jest proporcjonalne do temperatury i odwrotnie do masy cząsteczek. ltVrdm 2 gt 3KTm Prędkość losowa to różnica całkowitej prędkości pomniejszona o średnią lub prędkość dryfu. Prawdziwy sens dla prędkości dryfu byłby średnią prędkością dużej liczby cząstek w danym czasie, co wskazywałoby, że całe ciało cieczy i zawieszonych cząstek porusza się jako całość. Ale ponieważ prędkość losowa musi być średnia w czasie do zera, średnia prędkości pojedynczej cząstki w czasie jest również równa prędkości dryfu. Analogicznie na rynku FOREX, parytet waluty to cząstka o jednym wymiarze wymiarowym, a zatem prędkość w dowolnym momencie t jest ruchem cytowania od czasu ostatniego cytowania w czasie t0 podzielonym przez przedział czasu. Średnia prędkość będzie wykładniczą średnią ruchomą cytatów. Temperatura pary walutowej Tcp byłaby wówczas: Tcp (m3K) ltVrdm 2 gt Masa pary walutowej jest wielkością do określenia, więc stała Boltzmana nie ma tu znaczenia. Mimo to obserwuje się, że długoterminowa średnia intensywność ruchu szybkościowego Browna zależy od pary walutowej, więc zdają się wykazywać różne masy. Znalezienie masy dla każdej pary walut pozwoliłoby na wspólne odniesienie do temperatury. Gdybyśmy przyjęli masę EUR jako 1, to: powyższe masy dają średnią temperaturę podobną do 300 K, która jest równa temperaturze pokojowej w skali Kelvina, która odpowiada 27 stopniom Celsjusza. Lub 80,6 Fahrenheita. Ale oprócz fanciness nie daje głębszy wgląd w problem. Wykonanie (m3K) 1 powoduje, że temperatura jest równa wariancji prędkości. Ponieważ pierwiastek kwadratowy wariancji jest odchyleniem standardowym, taka definicja temperatury daje wyobrażenie o tym, jak intensywny jest ruch losowy w pips. second. Wykrywanie zdarzeń i temperatura waluty Zdarzenie informacyjne wpływające na wartość dolara amerykańskiego może zostać wykryte, gdy stawki dla pozostałych głównych walut zmieniają się konsekwentnie. Innymi słowy, kiedy ruchy szybkości ulegają korelacji. (Patrz Załącznik A dotyczący obliczania wyzwalania zdarzenia). Wyrażenie liczbowe tej korelacji jest średnią z różnicy do EMA (wykładniczej średniej ruchomej) dla wszystkich głównych walut. Problem z tym podejściem polega na tym, że znaczące waluty, które należy wziąć pod uwagę, nie są zbyt duże, w rzeczywistości można użyć tylko 6 par. Średnia na tak małej próbce nie jest odporna na przypadkowe ruchy i ma skłonność do renderowania wyników fałszywie dodatnich. Wykrywanie może być poprawione, jeżeli wpływ na średnią jest odwrotnie proporcjonalny do temperatury pary. Dokładniej: rozważane przez prawdopodobieństwo, że obserwowana prędkość prędkości nie jest spowodowana brązowością mechanizmu ruchu. Wiedząc, że rozkład prędkości w ruchach Browna jest Gaussa, w przypadku braku zdarzenia, prawdopodobieństwo zaobserwowania prędkości poniżej wartości V może być obliczone przez pole pod krzywą gęstości prawdopodobieństwa Gaussa: Słowami, krzywa mówi nam to: Rozważmy parę EURUSD, która zwykle pokazuje wartość lmVrdm 2 gt 2,94 pips, a prędkości poniżej tej wartości są 68,2 czasu, powyżej 31,8. Można więc powiedzieć, że jeśli zaobserwowana prędkość jest powyżej, powiedzmy 6, jest bardzo mało prawdopodobne (4.4), że pochodzi ona z przypadkowości. Matematyczne wyrażenie prawdopodobieństwa prędkości V, która nie jest przypadkowa, to: P erf ((V 2 ltVrdm 2 gt)) Gdzie erf (x) jest znany jako funkcja błędu. Przeanalizowana średnia korelacji będzie teraz: DODATEK A Wyzwalanie zdarzeńSilne przybliżenie ułamkowego ruchu Browna poprzez przenoszenie średnich prostych spacerów losowych Pl Rvsz z okazji jego 65. urodzin Tams Szabados Wydział Matematyki, Politechnika w Budapeszcie, Egry u 20-22 , H p. V em. Budapeszt, 1521, Węgry Otrzymano 19 grudnia 1999 r. Zmieniony 29 sierpnia 2000 r. Przyjęty 4 września 2000 r. Dostępny w Internecie 9 lutego 2001 r. Ułamkowy ruch Browna jest uogólnieniem zwykłego ruchu Browna, wykorzystywanego w szczególności, gdy wymagana jest zależność długiego zasięgu. Jego wyraźne wprowadzenie jest spowodowane Mandelbrot i van Ness (SIAM Rev. 10 (1968) 422) jako samopodobny proces Gaussa W (H) (t) ze stacjonarnymi przyrostami. Tutaj samo-podobieństwo oznacza, że gdzie H (0,1) jest parametrem Hurst ułamkowego ruchu Browna. PEŁNE WYŻYWIENIE. Knight dał konstrukcję zwykłego ruchu Browna jako granicę prostych, przypadkowych spacerów w 1961 roku. Później jego metoda została uproszczona przez Rvsz (Random Walk in Random and Non-Random Environments, World Scientific, Singapore, 1990), a następnie przez Szabados (Studia Sci Math Mat., Hung. 31 (1996) 249297). Takie podejście jest dość naturalne i elementarne, i jako takie może zostać rozszerzone na bardziej ogólne sytuacje. Bazując na tym, używamy średnich ruchomych z odpowiedniej sekwencji zagnieżdżonych prostych przypadkowych spacerów, które prawie na pewno jednolicie zbiegają się do ułamkowego ruchu Browna na kompaktach, kiedy. Stwierdzono w tym przypadku stopień konwergencji, gdzie N oznacza liczbę kroków użytych do zbliżenia. Jeśli bardziej dokładne (ale także bardziej skomplikowane) Komls et al. (1975, 1976) przybliżenie jest używane zamiast zamieniać losowe spacery w zwykły ruch Browna, a następnie ten sam rodzaj ruchomych średnich prawie na pewno równomiernie zbiegają się do ułamkowego ruchu Browna na kompaktach dla dowolnego H (0,1). Co więcej, zakłada się, że stopa konwergencji jest najlepsza z możliwych, choć tylko tutaj udowodniono. Ułamkowy ruch Browna Budowa ścieżkowa Silne zbliżenie Spacer losowy Średnia ruchoma 1 Ułamkowy ruch Browna Ułamkowy ruch Browna (fBM) jest uogólnieniem zwykłego ruchu Browna (BM), stosowanego w szczególności, gdy zależność długiego zasięgu jest niezbędna. Choć historia fBM wywodzi się z Kołmogorowa (1940 r.) I innych, jej wyraźne wprowadzenie wynika z Mandelbrota i van Nessa (1968 r.). Ich intencją było zdefiniowanie samopodobnego. wyśrodkowany proces Gaussa ze stacjonarnymi, ale nie niezależnymi przyrostami i ciągłymi ścieżkami próbek a. s. Tutaj samo-podobieństwo oznacza, że dla dowolnego a gt0, gdzie H (0,1) jest parametrem Hurst fBM i oznacza równość w rozkładzie. Wykazali, że te właściwości charakteryzują fBM. Sprawa zmniejsza się do zwykłego BM z niezależnymi przyrostami, podczas gdy przypadki (odpowiednio) dają ujemnie (względnie dodatnio) skorelowane przyrosty, patrz Mandelbrot i van Ness (1968). Wydaje się, że w zastosowaniach fBM najczęściej stosuje się przypadek. Mandelbrot i van Ness (1968) przedstawili następującą wyraźną reprezentację fBM jako średnią ruchomą zwykłego, ale dwustronnego BM: gdzie t 0 i (x) maksimum (x, 0). Idea (2) jest związana z deterministycznym rachunkiem ułamkowym. która ma nawet dłuższą historię niż fBM, wracając do Liouville, Riemanna i innych patrz w Samko i in. (1993). Jego najprostszy przypadek występuje wtedy, gdy podano ciągłą funkcję f oraz dodatnią liczbę całkowitą. Następnie indukcja z integracją według części może wykazać, że jest to kolejność iteracji pierwotnej (lub całki porządkowej) f. Z drugiej strony, ta całka jest dobrze zdefiniowana również dla niecałkowitych dodatnich wartości, w którym to przypadku można ją nazwać całkową ułamkową z f. Więc, heurystycznie, główną częścią (2) jest całka porządkowa (w zwykłym sensie nieistniejącego) procesu białego szumu W (t). Zatem fBM W (H) (t) można uznać za stacjonarną modyfikację przyrostu całkowej ułamkowej W (t) procesu białego szumu, gdzie. 2 Losowa budowa zwyczajnego ruchu Browna Ciekawe, że bardzo naturalna i elementarna konstrukcja zwykłego BM jako granicy losowych spacerów (RW) pojawiła się stosunkowo późno. Matematyczna teoria BM zaczęła się około 1900 r. Od dzieł Bacheliera, Einsteina, Smoluchowskiego i innych. Pierwszą budowlę egzystencji nadali Wiener 1921 i Wiener 1923, a następnie kilka innych później. Knight (1961) wprowadził pierwszą konstrukcję przez przypadkowe spacery, które później uprościł Rvsz (1990). Obecny autor miał szczęście posłuchać tej wersji konstrukcji bezpośrednio z Pl Rvsz w seminarium na Politechnice w Budapeszcie na kilka lat przed publikacją książki Rvszsa w 1990 roku i natychmiast go zafascynował. Rezultat starań o dalsze uproszczenie pojawił się w Szabados (1996). Odtąd wyrażenie Konstrukcja RW zawsze będzie odnosić się do wersji omawianej w tej ostatniej. Asymptotycznie jest to równoważne z osadzeniem Skorohoda (1965), aby znaleźć zagnieżdżoną sekwencję diadyczną RW w BM, patrz Twierdzenie 4 w Szabados (1996). Jako taki ma pewne zalety i wady w porównaniu ze znanym najlepszym możliwym przybliżeniem przez BM częściowych sum zmiennych losowych z funkcją generującą moment skończony wokół źródła. Ta ostatnia została uzyskana przez Komls 1975 i Komls 1976. Zostanie skrócona w przybliżeniu KMT w kontynuacji. Głównymi zaletami konstrukcji RW jest to, że jest elementarna, jawna, wykorzystuje tylko przeszłe wartości do konstruowania nowych, łatwe do wdrożenia w praktyce i bardzo odpowiednie do przybliżania całek stochastycznych, patrz Twierdzenie 6 w Szabados (1996), a także Szabados ( 1990). Przypomnijmy, że aproksymacja KMT konstruuje częściowe sumy (na przykład proste symetryczne RW) z samego BM (lub z sekwencji i. i.d. standardowej normalnej losowej zmiennej) przez skomplikowaną sekwencję warunkowych przekształceń kwantylowych. Aby skonstruować dowolną nową wartość, którą wykorzystuje do całej sekwencji (również wartości przeszłe i przyszłe). Z drugiej strony, główną słabością konstrukcji RW jest to, że daje ona stopę zbieżności, podczas gdy współczynnik przybliżenia KMT jest najlepszy z możliwych, gdzie N jest liczbą kroków (warunków) rozważanych w RW. W pierwszej części podsumowano główne właściwości wyżej wymienionej konstrukcji RW. Następnie ta konstrukcja RW służy do określenia zbliżenia podobnego do (2) fBM przez przesunięcie średnich wartości RW. Konwergencja i błąd tej aproksymacji są omówione poniżej. W wyniku względnie słabszych właściwości aproksymacyjnych konstrukcji RW, konwergencja do fBM zostanie ustalona tylko dla, a stopa konwergencji również nie będzie najlepsza. Aby to zrekompensować, na końcu artykułu omawiamy właściwości zbieżności i błędów podobnej konstrukcji fBM, która wykorzystuje aproksymację KMT, która zbiega się dla wszystkich H (0,1), a których współczynnik konwergencji można przypuszczać najlepsze możliwe przy przybliżaniu fBM przez przesuwanie średnich wartości RW. Podsumowanie konstrukcji RW BM zostało zaczerpnięte z Szabados (1996). Zaczynamy od nieskończonej matrycy i. i.d. zmienne losowe X m (k), zdefiniowane na tej samej podstawowej przestrzeni prawdopodobieństwa. Każdy rząd tej macierzy jest podstawą aproksymacji BM o pewnej dyadycznej wielkości kroku t 2 2 m w czasie i odpowiadającej wielkości kroku x 2 m w przestrzeni, zilustrowanej przez następną tabelę. Drugim etapem konstrukcji jest skręcanie. Z niezależnych spacerów losowych (to znaczy z rzędów z Tabeli 1), chcemy utworzyć te zależne tak, że po zmniejszeniu czasowych i przestrzennych rozmiarów kroku, każde kolejne RW staje się udoskonaleniem poprzedniego. Ponieważ jednostka przestrzenna będzie zmniejszana o połowę w każdym kolejnym rzędzie, definiujemy czasy zatrzymania Tm (0) 0, a dla k 0 Są to przypadkowe momenty czasu, gdy RW odwiedza nawet liczby całkowite, różne od poprzedniej. Po zmniejszeniu jednostki przestrzennej o połowę, odpowiednia modyfikacja tego RW odwiedzi te same liczby całkowite w tej samej kolejności, co poprzednia RW. (To nazywamy wyrafinowaniem.) Będziemy działać tutaj w każdym punkcie przestrzeni próbki oddzielnie, tj. Ustalamy ścieżkę próbki każdego RW występującego w Tabeli 1. Tak więc każdy mostek S m (T m (k 1)) S m (T m (k)) musi naśladować odpowiedni etap X m 1 (k 1) z poprzedniego RW. Kręcimy RW rekurencyjnie dla m 1,2,3, używając, zaczynając od (n 0). Przy każdym stałym m postępujemy kolejno dla k 0,1,2, a dla każdego n w odpowiednim pomoście, T m (k) lt n T m (k 1). Każdy mostek jest odwrócony, jeśli jego znak różni się od pożądanego (ryc. 1. ryc. 2 i ryc. 3): a następnie. Następnie każde (n 0) jest nadal prostym, symetrycznym RW patrz Lemma 1 w Szabados (1996). Co więcej, skręcone RW mają pożądaną właściwość rafinacji: Ostatni etap konstrukcji RW kurczy się. Ścieżki próbek (n 0) można rozszerzyć do funkcji ciągłych za pomocą interpolacji liniowej. W ten sposób uzyskuje się (t 0) rzeczywistego t. Następnie definiujemy m-temu przybliżenie BM (patrz rys. 4) poprzez porównanie trzech etapów ścieżki próbki pierwszego przybliżenia B 0 (t) i odpowiadającej części drugiego przybliżenia B 1 (t) na rysunku 1 i rysunku 4. Druga odwiedza te same liczby całkowite (różne od poprzedniej) w tej samej kolejności co pierwsza, tak naśladuje pierwszą, ale odpowiednie momenty różnią się ogólnie: 2 2 T 1 (k) k. Podobnie (3) implikuje ogólną właściwość udokładniania, ale ogólnie występuje opóźnienie czasowe. Podstawową ideą budowy BM w RW jest to, że te opóźnienia czasowe stają się jednolicie małe, jeśli m staje się wystarczająco duże. Można to udowodnić za pomocą następującego prostego lemat. Tabela 1. Ustawienie początkowe dla konstrukcji RW z BM Nie jest niespodzianką, że ta i właściwość udoskonalania (5) implikują równomierną bliskość dwóch kolejnych przybliżeń BM, jeśli m jest wystarczająco duże. Ten lemat zapewnia a. s. Równomierna zbieżność przybliżeń RW w krótkich odstępach czasu i jest oczywiste, że proces graniczny jest prawie na pewno procesem Wienera (BM) z ciągłymi ścieżkami próbek. Twierdzenie 1 Aproksymacja RW a. s. jednolicie zbiega się z procesem Wienera na dowolnym kompaktowym przedziale czasowym. Dla każdego i dla każdego m m 2 (C), mamy Wyniki przytoczone powyżej odpowiadają Lememu 2. Lemat 3 i Lemat 4 oraz Twierdzenie 3 w Szabados (1996). Wspomnieliśmy, że przedstawione tu stwierdzenia są podane w nieco ostrzejszych formach, ale można je łatwo odczytać z dowodów w powyższym odnośniku. 3 Ścieżkowe przybliżenie ułamkowego ruchu Browna Niemal pewna zbieżna ścieżka budowy fBM została podana przez Carmonę i Coutina (1998), przedstawiając fBM jako liniową funkcjonalność nieskończonego, wymiarowego procesu Gaussa. Inną ścieżkową konstrukcję dali Decreusefond i stel 1998 oraz Decreusefond i stnel 1999, które zbiegają się w sensie L2. Ta konstrukcja wykorzystuje dyskretne przybliżenia średniej ruchomej reprezentacji fBM (2). w oparciu o deterministyczne podziały osi czasu. Dokładniej, (2) jest zastąpione przez całkę względem zwartego przedziału 0, t, ale z bardziej skomplikowanym jądrem zawierającym również funkcję hipergeometryczną. Przybliżone omówienie fBM będzie również dyskretną wersją średniej ruchomej reprezentacji (2) fBM, ale partycje dyktyczne są przyjmowane na osi przestrzennej BM, a więc otrzymuje się losowe partycje na osi czasu. Jest to asymptotycznie osadzanie typu Skorohod zagnieżdżonych RW w BM. W rezultacie, zamiast całki mamy sumę, a BM jest zastępowane przez zagnieżdżoną sekwencję uszlachetniania jej przybliżeń RW omówionych w poprzedniej sekcji. Ponieważ (2) zawiera dwustronną BM, potrzebujemy dwóch takich sekwencji: jednej dla prawej i drugiej dla lewej połowy. Od tej pory będziemy używać następujących notacji: m 0 jest liczbą całkowitą, t 2 2 m. . Wprowadzenie do jądra m-tego przybliżenia fBM z definicji to B m (H) (0) 0, a dla dodatnich liczb całkowitych k, gdzie konwencja 0 H 12 0 jest stosowana nawet dla wykładników ujemnych. Warto zapisać B m (H) w innej formie, stosując dyskretną wersję integracji przez części. Zaczynając od (8) i zmieniając kolejność według B m (tr), uzyskujemy dla k 1, że w ten sposób otrzymujemy dyskretną wersję tego, co uzyskuje się z (2) przy użyciu formalnej integracji przez części (por. 5 poniżej). Aby wesprzeć powyższą definicję, pokazujemy, że B m (H) ma właściwości analogiczne do charakterystycznych właściwości fBM w dyskretnym ustawieniu. (a) B m (H) jest wyśrodkowane (jasne z definicji) i ma stałe przyrosty. Jeśli k 0 i k są nieujemnymi liczbami całkowitymi, wówczas (podstawiając u r k 0) (b) B m (H) jest w przybliżeniu samopodobne w następującym znaczeniu: Jeżeli 2 2 m 0. gdzie m 0 jest liczbą całkowitą, m 0 m. wtedy dla dowolnej k nieujemnej liczby całkowitej, dla której ka jest również liczbą całkowitą, ma ją Z drugiej strony, Lemat 4 (i Twierdzenie 2) poniżej pokazują, że B m (H) i B m 1 (H) (i B mn ( H)) są jednakowo blisko z arbitralnym dużym prawdopodobieństwem na każdym kompaktowym przedziale jeśli m jest wystarczająco duże (kiedy). Można to udowodnić w podobny sposób, jak w przypadku j. gdzie j 0 jest dowolną liczbą całkowitą, 2 2 n j 2 2 (n 1) z liczbą całkowitą n 0, rozkłady skończonych wymiarów mogą być dowolnie zbliżone do skończonych rozkładów wymiarów B m n (H), jeśli m jest wystarczająco duże. W konsekwencji, B m (H) jest arbitralnie bliski samopodobieństwu dla dowolnej dyadazy a j2 2m0, jeśli m jest wystarczająco duże. (c) Dla dowolnego 0lt t 1 ltlt t n. rozkład limitu wektora jako m jest krzywa Gaussa. gdzie . Fakt ten wynika z Twierdzenia 2 (opartego na Lemmie 5), które stwierdza, że proces B m (H) prawie na pewno zbiega się z procesem Gaussa W (H) w krótkich odstępach czasu. 4 Zbieżność przybliżenia do fBM Najpierw zostanie pokazane, że dwa kolejne przybliżenia fBM określone przez (8). lub równoważnie według (9). są jednolicie zamknięte, jeśli m jest wystarczająco duże, przypuśćmy. Wydaje się, że powyższe przybliżenie wartości BM z BM nie jest wystarczająco dobre, aby uzyskać konwergencję. Kiedy udowodni się zbieżność, duża różnica w odchyleniach, podobna do Lemat 1, będzie odgrywać ważną rolę. Jeśli X 1, X 2, jest ciągiem i. i.d. zmienne losowe,, i S r a r X r. gdzie nie wszystkie są zerowe, a następnie (patrz np. Stroock, 1993, str. 33). Powyższe sumowanie może rozciągać się do skończenie wielu lub do wielu różnych terminów. W konsekwencji, jeśli S 1, S 2, SN są arbitralnymi sumami powyższego typu, można uzyskać następujący analog Lema 1. Dla dowolnego C gt1 i N 1, W ten sposób używając (19) otrzymuje się wynik z z wyjątkiem zbioru prawdopodobieństwa najwyżej 2 (K 2 2 m) 1 C. gdzie i C gt1 są arbitralne. (d) Maksymalnie U m, k. Podzielmy połowę linii na interwały o długości L. gdzie L 4 K. W celu określenia, wybierz L 4 K. Poza tym ta część będzie podobna do części (b). W kontynuacji używamy konwencji, że gdy dolna granica sumy jest liczbą rzeczywistą x. sumowanie zaczyna się od x, i podobnie, jeśli górny limit jest y. suma kończy się na y. Przez (17), Lemat 3 daje górną granicę dla maksymalnej różnicy pomiędzy dwoma kolejnymi przybliżeniami BM, jeśli j 1 jest dowolną ustaloną wartością: z wyjątkiem zbioru prawdopodobieństwa najwyżej 3 (jL 2 2 m) 1 C. gdzie C gt1 jest arbitralny, a m m 1 (C). Sugeruje to dla dowolnego C 3 i mm 1 (C), że powyższa nierówność (24) utrzymuje się równocześnie dla wszystkich j 1,2,3, z wyjątkiem zbioru prawdopodobieństwa co najwyżej Dla drugiego głównego czynnika w (23) dwumianowego Serie są stosowane jak wyżej, przy i v 1: W drugim przypadku, gdy powyższa metoda najwyraźniej daje zbieżność tutaj (podobnie jak w części (b)) tylko wtedy, gdy: dla dowolnego C 3 i mm 1 (C) z wyjątkiem zbiór prawdopodobieństwa najwyżej (K 2 2 m) 1 C. Teraz można łączyć wyniki części (a) (d), patrz (18). (20). (21). (22). (27) i (28). uzyskać oświadczenie o lemacie. Pamiętaj, że szybkość zbieżności w częściach (a) i (c) jest szybsza niż w części (b) i (d). W szczególności należy zauważyć, że istnieje współczynnik m w (b) i (d), który ma odpowiednik m 12 w (a) i (c). Ponieważ w twierdzeniu tego lematu po prostu zastąpiliśmy szybsze czynniki zbieżne przez te wolniej zbieżne, stałe mnożniki w (a) i (c) można zignorować, jeśli m jest wystarczająco duże. Proste jest rozszerzenie formuły (9) o przybliżone przybliżenie B m (H) fBM do rzeczywistych argumentów t za pomocą interpolacji liniowej, podobnie jak w przypadku m przybliżenia B m (t) zwykłego BM, patrz np. w Szabados (1996). Niech m 0 i k 0 będą liczbami całkowitymi, 0,1 i zdefiniuj Następnie otrzymane ciągłe aproksymacje parametrów fBM B m (H) (t) (t 0) mają ciągłe, fragmentaryczne liniowe ścieżki próbek. Dzięki tej definicji jesteśmy gotowi przedstawić główny rezultat tego artykułu. gdzie (H, K) i są takie same jak w Lemat 4. (Przypadek opisany jest w Twierdzeniu 1.) z wyjątkiem zdarzenia o prawdopodobieństwie najwyżej 8 (K 2 2 m) 1 ° C. Ponieważ zarówno Bm 1 (H) (t), jak i B m (H) (t) mają odcinek liniowej próbki, ich maksymalna różnica musi wystąpić przy wierzchołkach ścieżek próbek. Niech M m oznacza maksymalny wzrost B m (H) między parami punktów t k, t k 1 w 0, K: z wyjątkiem zdarzenia o prawdopodobieństwie najwyżej 2 (K 2 2 m) 1 C. cf. (31) poniżej. Ścieżka próbki B m 1 (H) (t) wykonuje cztery kroki w dowolnym przedziale t k, t k 1. Aby obliczyć maksymalne odchylenie od D m wystarczy oszacować jego zmianę między punktem środkowym a punktem końcowym takiego przedziału, w dwóch krokach od lewego i prawego punktu końcowego: z wyjątkiem zdarzenia o prawdopodobieństwie najwyżej 2 (K 2 2 (m 1)) 1 C. Stąd też, oprócz zdarzenia prawdopodobieństwa, co najwyżej. Powyższe wyjaśnienie pokazuje, że jednocześnie daje to górną granicę, której szukaliśmy, z wyjątkiem zdarzenia o prawdopodobieństwie najwyżej (82 32 C) (K 2 2 m) 1 C. Następnie można użyć podobnego argumentu, jak w dowodzie Lemat 4. zobacz, np. część (a) tam: Stąd bierze N K 2 2 m i C gt 1 w (12). i używając także (19), uzyskuje się dla m 1, że z wyjątkiem zbioru prawdopodobieństwa najwyżej 2 (K 2 2 m) 1 C. gdzie K gt0 i C gt1 są arbitralne. z wyjątkiem zdarzenia o prawdopodobieństwie najwyżej 8,125 (K 2 2 m) 1 C, gdzie (H, K) i (H) są takie same jak w Lemat 4. Pamiętaj, że stopa konwergencji w (31). tak jak w częściach (a) i (c) dowodu Lemat 4. jest szybszy niż ten w częściach (b) i (d) tego dowodu. Oprócz stałych mnożników, wynik (31) ma taką samą postać jak wyniki (a) i (c) tam. Ponieważ w twierdzeniu tego twierdzenia po prostu zastąpiliśmy szybsze czynniki zbieżne przez te wolniej zbieżne, stałe mnożniki (31) można zignorować, jeśli m jest wystarczająco duże. Dlatego też (H, K) zdefiniowane przez Lemat 4 jest tutaj odpowiednie. Zatem można uzyskać, że dzięki lematowi BorelCantelli oznacza to, że z prawdopodobieństwem 1 ścieżki próbne B m (H) (t) zbiegają się równomiernie do procesu W (H) (t) w dowolnym kompaktowym przedziale 0, K. Następnie W (H) (t) ma ciągłe ścieżki próbek i dziedziczy właściwości B m (H) (t) opisane w rozdziale 3. Jest to wyśrodkowany, samopodobny proces ze stacjonarnymi przyrostami. Jak wskazuje Lemma 5 poniżej, tak zdefiniowany proces jest Gaussian. Zatem W (H) (t) jest fBM i przez (33) stopień zbieżności aproksymacji jest taki, jak podano w twierdzeniu. The aim of the next lemma to show that integration by parts is essentially valid for (2) representing W ( H ) ( t ), resulting in a formula similar to (10). Then it follows that can be stochastically arbitrarily well approximated by a linear transform of the Gaussian process , so it is also Gaussian. After the second term on the right-hand side of (37) we turn to the third term. Take now any (0, 0 ). Since h ( s , t ) has continuous partial derivative w. r.t. s on the intervals 1 , and , t and by Theorem 1. B m a. s. uniformly converges to the Wiener process W on these intervals, comparing (35) and (36) shows that with this there exists an m such that Theorem 1 also implies that m can be chosen so that for the fourth term in (37) one similarly has Finally, Theorem 2 (or, with a modified construction, Theorem 3 below) guarantees that m can be chosen so that the first term in (37) satisfies the same inequality: The last four formulae together prove the lemma. 5 Improved construction using the KMT approximation Parts (b) and (d) of the proof of Lemma 4 gave worse rate of convergence than parts (a) and (c), in which the rates can be conjectured to be best possible. The reason for this is clearly the relatively weaker convergence rate of the RW approximation of ordinary BM, that was used in parts (b) and (d), but not in parts (a) and (c). It is also clear from there that using the best possible KMT approximation instead would eliminate this weakness and would give hopefully the best possible rate here too. The price one has to pay for this is the intricate and future-dependent procedure by which the KMT method constructs suitable approximating RWs from BM. The result we need from Komls 1975 and Komls 1976 is as follows. Suppose that one wants to define an i. i.d. sequence X 1 , X 2 , of random variables with a given distribution so that the partial sums are as close to BM as possible. Assume that E ( X k )0, Var ( X k )1 and the moment generating function E (e uX k )lt for . Let S ( k ) X 1 X k . k 1 be the partial sums. If BM W ( t ) ( t 0) is given, then for any n 1 there exists a sequence of conditional quantile transformations applied to W (1), W (2),, W ( n ) so that one obtains the desired partial sums S (1), S (2),, S ( n ) and the difference between the two sequences is the smallest possible: for any x gt0, where C 0 , K 0 , are positive constants that may depend on the distribution of X k . but not on n or x . Moreover, can be made arbitrarily large by choosing a large enough C 0 . Taking here one obtains where n 1 is arbitrary. Fix an integer m 0, and introduce the same notations as in previous sections: . Then multiply the inner inequality in (42) by 2 m and use self-similarity (1) of BM (with ) to obtain a shrunken RW (0 k K 2 2 m ) from the corresponding dyadic values W ( t k ) (0 k K 2 2 m ) of BM by a sequence of conditional quantile transformations so that with the exception of a set of probability smaller than K 0 ( K 2 2 m ) C 0 . for any m 1 and K gt0. Here (19) was used too. Then (43) implies for the difference of two consecutive approximations that for any m 1 and K gt0. This is exactly what we need to improve the rates of convergence in parts (b) and (d) of Lemma 4 . Substitute these KMT approximations into definition (8) or (9) of B m ( H ) ( t k ). This way one can obtain faster converging approximations of fBM. Then everything above in 3 and 4 are still valid, except that one can use the improved formula (44) instead of Lemma 3 at parts (b) and (d) in the proof of Lemma 4. This way, instead of (21) one gets for any m 1, except for a set of probability smaller than 2 K 0 ( K 2 2 m ) C 0 . Also by (44). instead of (24) and (25) one has the improved inequalities: with the exception of a set of probability smaller than 2 K 0 ( jL 2 2 m ) C 0 . where m 1. If C 0 is chosen large enough so that C 0 2, then (46) holds simultaneously for all j 1,2,3, except for a set of probability smaller than (Remember that we chose L 4 K in part (d) of the proof of Lemma 4 .) Then using this in part (d) of Lemma 4. instead of (26) one needs the estimate Then instead of (27) and (28). the improved results are as follows. First, in the case one has for any m 1 and C 0 large enough so that C 0 2, except for a set of probability smaller than given by (47). Now in the case it follows that for any m 1 and C 0 large enough so that C 0 2, except for a set of probability smaller than given by (47) . As a result, there is convergence for any H (0,1). Since the KMT approximation itself has best possible rate for approximating ordinary BM by RW, it can be conjectured that the resulting convergence rates in the next lemma and theorem are also best possible (apart from constant multipliers) for approximating fBM by moving averages of a RW. Proof Combine the results of parts (a) and (c) in the proof of Lemma 4 and the improved inequalities above, that is, apply (18). (20). (45). (22) and (48). and (49). Here too, we simply replace the faster converging factors by the slower converging ones, but the constant multipliers of faster converging terms cannot be ignored, since the lemma is stated for any m 1. Now we can extend the improved approximations of fBM to real arguments by linear interpolation, in the same way as we did with the original approximations, see (29). This way we get continuous parameter approximations ( t 0) for m 0,1,2,, with continuous, piecewise linear sample paths. Now we can state the second main result of this paper. where and are the same as in Lemma 6. ( In other words . in the definition of in Lemma 6 the constant multiplier 10 has to be changed to 20 here .) The constants are defined by the KMT approximation (41) with C 0 chosen so large that C 0 2. The case is described by (43). Proof The proof can follow the line of the proof of Theorem 2 with one exception: the constant multipliers in (31) and consequently in (30) cannot be ignored here. This is why the multiplier of Lemma 6 had to be modified in the statement of the theorem. It can be conjectured that the best rate of approximation of fBM by moving averages of simple RWs is , where N is the number of points considered. Though it seems quite possible that definition of above, see (8) with the KMT approximations , supplies this rate of convergence for any H (0,1), but in Theorem 3 we were able to prove this rate only when . A possible explanation could be that in parts (b) and (d) of Lemma 4 we separated the maxima of the kernel and the integrator parts. As a result, the convergence rate we were able to prove when is the same that the original KMT approximation (43) gives for ordinary BM, where N K 2 2 m . though in this case the sample paths of fBM are smoother than that of BM. (See, e. g. Decreusefond and stnel, 1998 .) On the other hand, the obtained convergence rate is worse than this, but still thought to be the best possible, , when , which heuristically can be explained by the more zigzagged sample paths of fBM in this case. References Carmona and Coutin 1998 P. Carmona. L. Coutin Fractional Brownian motion and the Markov property Elect. Comm. Probab. Volume 3. 1998. pp. 95107 Decreusefond and stnel 1998 Decreusefond, L. stnel, A. S. 1998. Fractional Brownian Motion: Theory and Applications. Systmes Diffrentiels Fractionnaires, ESAIM Proceedings 5, Paris, pp. 7586. Decreusefond and stnel 1999 L. Decreusefond. A. S. stnel Stochastic analysis of the fractional Brownian motion Potential Anal. Volume 10. 1999. pp. 174214 Feller 1966 W. Feller An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. II. 1966. Wiley, New York Knight 1961 F. B. Knight On the random walk and Brownian motion Trans. Amer. Matematyka. Soc. Volume 103. 1961. pp. 218228 Kolmogorov 1940 A. N. Kolmogorov Wienersche Spiralen und einige andere interessante Kurven im Hilbertschen Raum Doklady A. N. S. S.S. R. Volume 26. 1940. pp. 115118 Komls 1975 J. Komls. P. Major. G. Tusndy An approximation of partial sums of independent RVs, and the sample DF. I Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete. Volume 32. 1975. pp. 111131 Komls 1976 J. Komls. P. Major. G. Tusndy An approximation of partial sums of independent RVs, and the sample DF. II Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete. Volume 34. 1976. pp. 3358 Mandelbrot and van Ness 1968 B. B. Mandelbrot. J. W. van Ness Fractional Brownian motions, fractional noises and applications SIAM Rev. Volume 10. 1968. pp. 422437 Rvsz 1990 P. Rvsz Random Walk in Random and Non-Random Environments. 1990. World Scientific, Singapore Samko 1993 S. G. Samko. A. A. Kilbas. O. I. Marichev Fractional Integrals and Derivatives. 1993. Gordon amp Breach Science, Yverdon Skorohod 1965 A. V. Skorohod Studies in the Theory of Random Processes. 1965. Addison-Wesley, Reading, MA Stroock 1993 D. W. Stroock Probability Theory, an Analytic View. 1993. Cambridge University Press, Cambridge Szabados 1990 Szabados, T. 1990. A discrete Its formula. Coll. Matematyka. Soc. Jnos Bolyai 57. Limit Theorems in Probability and Statistics, Pcs (Hungary) 1989. North-Holland, Amsterdam, pp. 491502. Szabados 1996 T. Szabados An elementary introduction to the Wiener process and stochastic integrals Studia Sci. Matematyka. Hung. Volume 31. 1996. pp. 249297 Wiener 1921 N. Wiener The average of an analytical functional and the Brownian movement Proc. Nat. Acad. Sci. U. S.A. Volume 7. 1921. pp. 294298 Wiener 1923 N. Wiener Differential space J. Math. Phys. Volume 2. 1923. pp. 132174 Copyright 2001 Elsevier Science B. V. All rights reserved. Cytowanie artykułów ()
Comments
Post a Comment